定义域为的函数f（x）=2x-2-x，g（x）=2x+2-x（1）请分别指出函数y=f（x）与函数y=g（x）的奇偶性、单调区间、值域和零点；（将结论填入答题卡，不必证）（2）设h(x)=f(x)g(x)，请判断函数y=h（x）的奇偶性、单调区间，并证明你的结论．（必要时，可以（1）中的结论作为推理与证明的依据）试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

定义域为的函数f（x）=2^x-2^-x，g（x）=2^x+2^-x
（1）请分别指出函数y=f（x）与函数y=g（x）的奇偶性、单调区间、值域和零点；（将结论填入答题卡，不必证）
（2）设h(x)=

f(x)

g(x)

，请判断函数y=h（x）的奇偶性、单调区间，并证明你的结论．（必要时，可以（1）中的结论作为推理与证明的依据）

见解析

解：（1）函数f（x）=2^x-2^-x为奇函数，在R上单调递增，值域为R，零点为0；函数g（x）=2^x+2^-x为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，值域为[2，+∞），无零点；
（2）h(x)=

f(x)

g(x)

2^x-2^-x

2^x+2^-x

2^2x-1

2^2x+1

函数为奇函数，在R为增函数．证明如下：
h(x)=

f(x)

g(x)

的定义域为R，则h（-x）=

2^-2x-1

2^-2x+1

1-2^2x

1+2^2x

=-h（x），∴函数为奇函数，
∵h（x）=

2^2x-1

2^2x+1

=1-

2^2x+1

，∴h′（x）=

2^2x+1ln4

(2^2x+1)²

＞0，∴函数在R为增函数．

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