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已知函数g(x)=4x-n2x是奇函数,f(x)=lg(10x+1)+mx是偶函数.(1)求m+n的值;(2)设h(x)=f(x)+12x,若g(x)>h[lg(2a+1)]对任意x≥1恒成立,求实数a的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数g(x)=
4
x
-n
2
x
是奇函数,f(x)=lg(10
x
+1)+mx是偶函数.
(1)求m+n的值;
(2)设h(x)=f(x)+
1
2
x,若g(x)>h[lg(2a+1)]对任意x≥1恒成立,求实数a的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)∵g(x)为奇函数,且定义域为R∴g(0)=
1-n
1
=0,解得n=1
∵f(x)=lg(10
x
+1)+mx是偶函数.
∴f(-x)=lg(10
-x
+1)-mx=lg
10
x
+1
10
x
-mx=lg(10
x
+1)-x-mx=lg(10
x
+1)-(m+1)x
=f(x)=lg(10
x
+1)+mx∴m=-(m+1),∴m=-
1
2
∴m+n=
1
2
(2)∵h(x)=f(x)+
1
2
x=lg(10
x
+1)
∴h[lg(2a+1)]=lg[10
lg(2a+1)
+1]=lg(2a+2)
∵g(x)=
4
x
-1
2
x
=2
x
-2
-x
∴g(x)>h[lg(2a+1)]对任意x≥1恒成立即lg(2a+2)<2
x
-2
-x
对任意x≥1恒成立
取x
1
>x
2
≥1,则g(x
1
)-g(x
2
)=(
2
x
1
-2
x
2
)
2
x
1
?2
x
2
-1
2
x
1
?2
x
1
>0
即当x≥1时,g(x)是增函数,∴g(x)
min
=f(1)=
3
2
由题意得2a+2<10
3
2
,2a+1>0,2a+2>0,
解得-
1
2
<a<5
√
10
-1
即a的取值范围是{a|-
1
2
<a<5
√
10
-1}
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
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集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
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二分法求方程的近似解
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函数零点的判定定理
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