函数f（x）=cx+d1+x2是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f（1）=12（1）求实数c和d，并确定函数f（x）的解析式；（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论．试题及答案-单选题-云返教育

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函数f（x）=

cx+d

1+x²

是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f（1）=

（1）求实数c和d，并确定函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论．

见解析

解：（1）函数f（x）=

cx+d

1+x²

是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，
可得f（0）=0，解得d=0．
再由f（1）=

，可得 c=1．
故函数的解析式为 f（x）=

1+x²

．
（2）由函数的解析式可得函数在（-1，1）上是增函数．
证明：设-1＜x₁＜x₂＜1，则 f（x₁）-f（x₂）=

x₁

1+x₁²

x₂

1+x₂²

x₁(1+x₂²)-x₂(1+x₁²)

(1+x₁²)(1+x₂²)

x₁-x₂+x₁?x₂(x₂-x₁)

(1+x₁²)(1+x₂²)

( x₁-x₂)(1-x₁x₂)

(1+x₁²)(1+x₂²)

．
由题设可得 x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，∴

( x₁-x₂)(1-x₁x₂)

(1+x₁²)(1+x₂²)

＜0，
故有f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），故函数在（-1，1）上是增函数．

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