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  • 已知函数f(x)=ax+bx2+1是（-1，1）上的奇函数，且f(12)=5．（1）求实数a，b的值；（2）判断并证明函数f（x）在（-1，1）上单调性；（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      ax+b
      x2+1
      是（-1，1）上的奇函数，且f(
      1
      2
      )=5．
      （1）求实数a，b的值；
      （2）判断并证明函数f（x）在（-1，1）上单调性；
      （3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由f（x）为奇函数，
      ∴f(0)=
      b
      1
      =0，得b=0，
      此时f(x)=
      ax
      x2+1
      满足f（-x）=-f（x）适合题意，所以b=0成立．
      ∵f(
      1
      2
      )=
      a
      2
      1+
      1
      4
      =5，
      ∴a=
      25
      2
      ，
      ∴f(x)=
      25
      2
      ?
      x
      1+x2
      ．
      （2）任取-1＜x      1＜x2＜1，
      f(x      2)-f(x1)=
      25
      2
      x2
      1+x22
      -
      25
      2
      x1
      1+x12
      =
      25
      2
      (x2-x1)(1-x1x2)
      (1+x22)(1+x12)

      ∵-1＜x      1＜x2＜1，
      ∴x      2-x1＞0，1-x1x2＞0，
      得f（x      2）-f（x1）＞0，
      即f（x      1）＜f（x2），
      ∴f（x）在（-1，1）单调递增；
      （3）∵f（t-1）+f（t）＜0，
      ∴f（t-1）＜-f（t）
      又f（x）是（-1，1）上的奇函数，
      故f（t-1）＜f（-t），
      ∵f（x）在（-1，1）单调递增，
      ∴
      {
      -1＜t-1＜1
      -1＜t＜1
      t-1＜-t
      ，
      解得0＜t＜
      1
      2

      故关于t的不等式的解集为(0，
      1
      2
      )．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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