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已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值;(2)定理:函数f(x)=ax+(a、b是正常数)在区间(0,)上为减函数,在区间上为增函数.参考该定理,解决下面问题:若方程f(x)-m=0有解,求m的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=log
4
(4
x
+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)定理:函数f(x)=ax+
(a、b是正常数)在区间(0,
)上为减函数,在区间
上为增函数.参考该定理,解决下面问题:若方程f(x)-m=0有解,求m的取值范围.
试题解答
见解析
(1)由函数f(x)是偶函数,可知f(x)=f(-x).
∴log
4
(4
x
+1)+kx=log
4
(4
-x
+1)-kx.…(2分)
即log
4
=-2kx,
log
4
4
x
=-2kx,…(4分)
∴x=-2kx对一切x∈R恒成立.
∴k=-
.…(5分)
(利用f(-1)=f(1)解出k=-
,可得满分)
(2)由m=f(x)=log
4
(4
x
+1)-
x,
∴m=log
4
=log
4
(2
x
+
).…(7分)
设u=2
x
+
,又设t=2
x
,则u=t+
,由定理,知u的最小值=u(1)=2,…(9分)
∴m≥log
4
2=
.
故要使方程f(x)-m=0有解,m的取值范围为m≥
.…(10分)
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