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  • 设f（x）为定义域为R的函数，对任意x∈R，都满足：f（x+1）=f（x-1），f（1-x）=f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）=3x-3-x．（1）请指出f（x）在区间[-1，1]上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；（2）试证明f（x）是周期函数，并求其在区间[2k-1，2k]（k∈Z）上的解析式．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设f（x）为定义域为R的函数，对任意x∈R，都满足：f（x+1）=f（x-1），f（1-x）=f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）=3x-3-x．
      （1）请指出f（x）在区间[-1，1]上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；
      （2）试证明f（x）是周期函数，并求其在区间[2k-1，2k]（k∈Z）上的解析式．

      试题解答

      见解析
      解：（1）偶函数；．（1分） 最大值为
      8
      3
      、最小值为0；..（1分）
      单调递增区间：[0，1]；单调递减区间：[-1，0]；（1分）
      零点：x=0．（1分）
      单调区间证明：
      当x∈[0，1]时，f（x）=3      x-3-x．
      设x      1，x2∈[0，1]，x1＜x2，f(x1)-f(x2)=(3x1-3x2)+(
      3x1-3x2
      3x1?3x2
      )=(3x1-3x2)(1+
      1
      3x1?3x2
      )
      证明f（x）在区间[0，1]上是递增函数
      由于函数y=3      x是单调递增函数，且3x＞0恒成立，
      所以      3x1-3x2＜0，1+
      1
      3x1?3x2
      ＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0
      所以，f（x）在区间[0，1]上是增函数．（4分）
      证明f（x）在区间[-1，0]上是递减函数
      【证法一】因为f（x）在区间[-1，1]上是偶函数．
      对于任取的x      1，x2∈[-1，0]，x1＜x2，有-x1＞-x2＞0f（x1）-f（x2）=f（-x1）-f（-x2）＞0
      所以，f（x）在区间[-1，0]上是减函数（4分）
      【证法二】设x∈[-1，0]，由f（x）在区间[-1，1]上是偶函数，得f（x）=f（-x）=3      -x-3x．
      以下???定义证明f（x）在区间[-1，0]上是递减函数..（4分）
      （2）设x∈R，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）-1]=f（x），
      所以，2是f（x）周期．（4分）
      当x∈[2k-1，2k]时，2k-x∈[0，1]，
      所以f（x）=f（-x）=f（2k-x）=3      2k-x-3x-2k..（4分）
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