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已知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的偶函数g(x)在(-∞,0)内为单调递减函数,且g(x?y)=g(x)+g(y)对任意的x,y都成立,g(2)=1.(1)证明g(x)在(0,+∞)内为单调递增函数(2)求g(4)的值;(3)求满足条件g(x)>g(x+1)+2的x的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的偶函数g(x)在(-∞,0)内为单调递减函数,且g(x?y)=g(x)+g(y)对任意的x,y都成立,g(2)=1.
(1)证明g(x)在(0,+∞)内为单调递增函数
(2)求g(4)的值;
(3)求满足条件g(x)>g(x+1)+2的x的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)设0<x
1
<x
2
,则0>-x
1
>-x
2
,
∵g(x)在(-∞,0)为单调递减函数,∴g(-x
1
)>g(-x
2
),
∵g(x)为偶函数,∴-g(x
1
)>-g(x
2
),即g(x
1
)<g(x
2
),
∴g(x)在(0,+∞)为单调递增函数.
(2)令x=y=2代入g(x?y)=g(x)+g(y)得,
g(4)=g(2×2)=g(2)+g(2)=2,
(3)∵g(x)>2+g(x+1)=g(4)+g(x+1)=g[4(x+1)]
∵g(x)为偶函数,∴g(|x|)>g[|4(x+1)|]
由(1)得,g(x)在(0,+∞)为单调递增函数,
∴
{
x≠0
x+1≠0
|x|>|4(x+1)|
解得-
4
3
<x<-1或-1<x<-
4
5
,
综上x的取值范围为(-
4
3
,-1)∪(-1,
4
5
).
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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