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设a,b∈R,且a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg1+ax1+2x是奇函数.(1)求b的取值范围;(2)讨论函数f(x)的单调???.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设a,b∈R,且a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg
1+ax
1+2x
是奇函数.
(1)求b的取值范围;
(2)讨论函数f(x)的单调???.
试题解答
见解析
解(1)f(x)=lg
1+ax
1+2x
(-b<x<b)是奇函数等价于:
对任意x∈(-b,b)都有
{
f(-x)=-f(x) ①
1+ax
1+2x
>0 ②
①式即为lg
1-ax
1-2x
=-lg
1+ax
1+2x
=lg
1+2x
1+ax
,由此可得
1-ax
1-2x
=
1+2x
1+ax
,
也即a
2
x
2
=4x
2
,此式对任意x∈(-b,b)都成立相当于a
2
=4,
因为a≠2,所以a=-2,
代入②式,得
1-2x
1+2x
>0,即-
1
2
<x<
1
2
,
此式对任意x∈(-b,b)都成立相当于
-
1
2
≤-b<b≤
1
2
,
所以b的取值范围是(0,
1
2
].
(2)设任意的x
1
,x
2
∈(-b,b),且x
1
<x
2
,
由b∈(0,
1
2
],得-
1
2
≤-b<x
1
<x
2
<b≤
1
2
,
所以0<1-2x
2
<1-2x
1
,0<1+2x
1
<1+2x
2
,
从而f(x
2
)-f(x
1
)=lg
1-2x
2
1+2x
2
-lg
1-2x
1
1+2x
1
=lg
(1-2x
2
)(1+2x
1
)
(1+2x
2
)(1-2x
1
)
<lg1=0
因此f(x)在(-b,b)内是减函数.
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单选题
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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集合的表示法
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