已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=3x9x+1-12，（1）判断并证明y=f（x）在（-∞，0）上的单调性；（2）求y=f（x）的值域；（3）求不等式f(x)＞13的解集．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=

3^x

9^x+1

，
（1）判断并证明y=f（x）在（-∞，0）上的单调性；
（2）求y=f（x）的值域；
（3）求不等式f(x)＞

的解集．

试题解答

见解析

解：（1）设x₁＜x₂＜0，则3^x₁＜3^x₂，3^x₁+x₂＜1
∵f(x₁)-f(x₂)=

3^x₁

9^x₁+1

3^x₂

9^x₂+1

3^x₁+2x₂+3^x₁-3^2x₁+x₂-3^x₂

(9^x₁+1)(9^x₂+1)

(3^x₁-3^x₂)(1-3^x₁+x₂)

(9^x₁+1)(9^x₂+1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），即y=f（x）在（-∞，0）上是增函数．
（2）∵0＜

3^x

9^x+1

3^x+

3^x

≤

，
∴当x≤0时，f(x)=

3^x

9^x+1

∈(-

，0]；
∵当x＞0时，f(x)=

3^x

9^x+1

∈(0，

)．
综上得 y=f（x）的值域为 (-

，

)．
（3）∵f(x)∈(-

，

)，
又∵f(x)＞

，∴f(x)∈(

，

)，此时f(x)=

3^x

9^x+1

单调递增，
∵f(1)=

＜

，∴f(x)∈(

，

)时，x＞1?3^x＞3．
令

3^x

9^x+1

＞

，
即

3^x

9^x+1

＜

?3^2x-6?3^x+1＞0?3^x＞3+2

√2

?x＞log₃(3+2

√2

)，
∴不等式f(x)＞

的解集是(log₃(3+2

√2

)，+∞)．

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=3x9x+1-12，（1）判断并证明y=f（x）在（-∞，0）上的单调性；（2）求y=f（x）的值域；（3）求不等式f(x)＞13的解集．试题及答案-单选题-云返教育

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