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对于函数f(x)=1ax-1+12(a>0,且a≠1)(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)探究函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明;(3)当2<a<4时,求函数f(x)在[-3,-1]上的最大值和最小值.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
对于函数f(x)=
1
a
x
-1
+
1
2
(a>0,且a≠1)
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)探究函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明;
(3)当2<a<4时,求函数f(x)在[-3,-1]上的最大值和最小值.
试题解答
见解析
解:(1)由a
x
-1≠0,得x≠0,∴定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∵f(x)=
2+a
x
-1
2(a
x
-1)
=
a
x
+1
2(a
x
-1)
,f(-x)=
a
-x
+1
2(a
-x
-1)
=
1+a
x
2(1-a
x
)
=-
a
x
+1
2(a
x
-1)
=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(2)任取x
1
,x
2
∈(0,+∞),且x
1
<x
2
,则f(x
1
)-f(x
2
)=
1
a
x
1
-1
-
1
a
x
2
-1
=
a
x
2
-a
x
1
(a
x
1
-1)(a
x
2
-1)
,
①当0<a<1时,
a
x
2
<a
x
1
<a
0
=1,∴
a
x
2
-a
x
1
<0,
a
x
1
-1<0,
a
x
2
-1<0,∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
),∴f(x)单调递增;
②当a>1时,
a
x
2
>a
x
1
>a
0
=1,∴
a
x
2
-a
x
1
>0,
a
x
1
-1>0,
a
x
2
-1>0,∴f(x
1
)-f(x
2
)>0,即f(x
1
)>f(x
2
),∴f(x)单调递减.
综上,当0<a<1时,f(x)在(0,+∞)为增函数;当a>1时,f(x)在(0,+∞)为减函数.
(3)由(2)知:当2<a<4时,函数f(x)在[1,3]上是减函数,由(1)知:f(x)为奇函数,所以f(x)在[-3,-1]上也为减函数,则
当x=-3时,f(x)
max
=f(-3)=-f(3)=-
1
a
3
-1
-
1
2
=-
a
3
+1
2(a
3
-1)
当x=-1时,f(x)
min
=f(-1)=-f(1)=-
1
a-1
-
1
2
=-
a+1
2(a-1)
.
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必修1
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
相关试题
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
4.1 函数与方程
二分法的定义
二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
函数的零点
函数的零点与方程根的关系
函数零点的判定定理
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