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  • 已知函数f（x）=-2x+b2x+1+a的定义域为R，且f（x）是奇函数，其中a与b是常数．（1）求a与b的值；（2）若x∈[-1，1]，对于任意的t∈R，不等式f（x）＜2t2-λt+1恒成立，求实数λ的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      -2x+b
      2x+1+a
      的定义域为R，且f（x）是奇函数，其中a与b是常数．
      （1）求a与b的值；
      （2）若x∈[-1，1]，对于任意的t∈R，不等式f（x）＜2t      2-λt+1恒成立，求实数λ的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴
      {
      f(0)=0
      f(-1)=-f(1)
      ，
      即
      {
      -1+b
      2+a
      =0
      -
      1
      2
      +b
      1+a
      =-
      -2+b
      4+a
      ，解得
      {
      a=2
      b=1
      ，此时f（x）=
      -2x+1
      2x+1+2
      ，经检验可得f（-x）=-f（x），
      故a=2，b=1．
      （2）f（x）=
      -2x+1
      2x+1+2
      =
      -2x+1
      2(2x+1)
      =
      -(2x+1)+2
      2(2x+1)

      =-
      1
      2
      +
      1
      2x+1
      ，可知f（x）在R上是减函数，又x∈[-1，1]，∴f（x）的最大值为f（-1）=
      1
      6
      ．
      ∵对于任意的t∈R，不等式f（x）＜2t      2-λt+1恒成立，
      ∴2t      2-λt+1＞
      1
      6
      ，即2t2-λt+
      5
      6
      ＞0，则有△＜0，即λ2-4×2×
      5
      6
      ＜0，解得-
      2
      √15
      3
      ＜λ＜
      2
      √15
      3
      ．
      所以实数λ的取值范围是{λ|-
      2
      √15
      3
      ＜λ＜
      2
      √15
      3
      }．
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