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  • 已知函数f（x）=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，其中a、b∈R且f（12）=25（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）判断函数y=f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      ax+b
      1+x2
      是定义在（-1，1）上的奇函数，其中a、b∈R且f（
      1
      2
      ）=
      2
      5

      （1）求函数y=f（x）的解析式；
      （2）判断函数y=f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）=
      ax+b
      1+x2
      为奇函数，且 f（
      1
      2
      ）=
      a?
      1
      2
      +b
      1+(
      1
      2
      )2
      =
      2
      5
      ，
      ∴f（-
      1
      2
      ）=
      a?(-
      1
      2
      )+b
      1+(-
      1
      2
      )2
      =-f（
      1
      2
      ）=-
      2
      5
      ，解得：a=1，b=0．
      ∴f（x）=
      x
      1+x2
      ．
      （2）函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．证明如下：
      在区间（-1，1）上任取x      1，x2，令-1＜x1＜x2＜1，
      ∴f（x      1）-f（x2）=
      x1
      1+x12
      -
      x2
      1+x22
      =
      (x1-x2)(1-x1x2)
      (1+x12)(1+x22)
      ；
      ∵-1＜x      1＜x2＜1，∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
      故函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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