已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．（1）求a的值；（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）求a的值；
（2）若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（x）=ln（e^x+a）是奇函数，
∴ln（e^-x+a）=-ln（e^x+a）
∴（e^-x+a）（e^x+a）=1，
∴1+ae^-x+ae^x+a²=1，
∴a（e^x+e^-x+a）=0，故a=0..…（4分）
（2）由（I）知：f（x）=x，
∴g（x）=λx+sinx，
∵g（x）在[-1，1]上单调递减，
∴g'（x）=λ+cosx≤0
∴λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，
∴λ≤-1
∵g（x）=λx+sinx＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立
∴

{	t+1＜0 -t-1+t²+sin1+1＞0

，
∴（t+1）λ+t²+sin1+1＞0（其中λ≤-1）恒成立，…（8分）
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1＞0（λ≤-1），
则

{	t+1＜0 -t-1+t²+sin1+1＞0

∴

{	t＜-1 t²-t+sin1＞0

，而t²-t+sin1＞0恒成立，
∴t＜-1…（12分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．（1）求a的值；（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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