已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当x∈（0，1]时，f(x)=2x4x+1．（1）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明；（3）要使方程f（x）=x+b在[-1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当x∈（0，1]时，f(x)=

2^x

4^x+1

．
（1）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明；
（3）要使方程f（x）=x+b在[-1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围．

见解析

解：（1）设x∈[-1，0），则-x∈（0，1]
∵当x∈（0，1]时，f(x)=

2^x

4^x+1

∴f(-x)=

2^-x

4^-x+1

∵f（x）是奇函数
∴f（x）=-f（-x）=-

2^-x

4^-x+1

∵f（0）=0
∴函数f（x）在[-1，1]上的解析式为f（x）=

{

2^x

4^x+1

，x∈(0，1]

0，x=0

2^-x

4^-x+1

，x∈[-1，0)

；
（2）f（x）在（0，1]上单调递减，证明如下：
∵当x∈（0，1]时，f(x)=

2^x

4^x+1

，
∴f′(x)=

2^xln2(1-4^x)

(4^x+1)²

∵x∈（0，1]，∴f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1]上单调递减；
（3）记g（x）=f（x）-x，则g（x）为（0，1]上的单调递减函数．
∴g（x）∈[g（1），g（0））?g（x）∈[-

，

）．
∵g（x）在[-1，1]上为奇函数，∴当x∈[-1，0）时g（x）∈（-

，

]．
又g（0）=0，
∴g（x）∈[-

，

]，即b∈[-

，

]．

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