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已知y=f(x)是定义在R上奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(2)=4,(1)求实数a的值;(2)求f(x)的表达式;(3)解不等式f(x2+3)+f(-2x)≥0.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知y=f(x)是定义在R上奇函数,当x<0时,f(x)=x
2
+ax,且f(2)=4,
(1)求实数a的值;
(2)求f(x)的表达式;
(3)解不等式f(x
2
+3)+f(-2x)≥0.
试题解答
见解析
解:(1)∵y=f(x)是定义在R上奇函数且f(2)=4
∴f(-2)=-f(2)=-4,代入表达式得 4-2a=-4,
∴a=4 (4分)
(2)由已知条件,当x<0时,f(x)=x
2
+4x
设x>0,则-x<0,f(-x)=(-x)
2
+4(-x)=x
2
-4x
于是f(x)=-f(-x)=-x
2
+4x
又∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0
综上所述,f(x)=
{
x
2
+4x,x≤0
-x
2
+4x,x>0
(8分)
(3)因为函数f(x)为奇函数,所以不等式f(x
2
+3)+f(-2x)≥0等价于f(x
2
+3)≥f(2x)
∵x
2
+3≥3>0,
∴f(x
2
+3)=-(x
2
+3)
2
+4(x
2
+3)=-x
4
-2x
2
+3.
①当2x≤0时,即x≤0时,f(2x)=(2x)
2
+4(2x)=4x
2
+8x
原不等式可化为:-x
4
-2x
2
+3≥4x
2
+8x,即x
4
+6x
2
+8x-3≤0,解之得2-
√
11
≤x≤0
②当2x>0时,即x>0时,f(2x)=-(2x)
2
+4(2x)=-4x
2
+8x
原不等式可化为:-x
4
-2x
2
+3≥-4x
2
+8x,x
4
-2x
2
+8x-3≤0,解之得0<x<
√
2
-1
综上所述,原不等式的解集为[2-
√
11
,
√
2
-1](12分)
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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