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已知函数f(x)=ax+bx2+1是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(12)=-25.(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断f(x)的单调性,并证明你的结论;(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=
ax+b
x
2
+1
是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(
1
2
)=-
2
5
.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断f(x)的单调性,并证明你的结论;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.
试题解答
见解析
解:(1)由奇函数的性质可得f(0)=0,
解得b=0,
∴f(x)=
ax
x
2
+1
.
再根据f(
1
2
)=
a
2
1
4
+1
=
2a
5
=-
2
5
,
解得a=-1,∴f(x)=
-x
x
2
+1
.
(2)设-1<x
1
<x
2
<1,
∵f(x
1
)-f(x
2
)=
-x
1
x
1
2
+1
-
-x
2
x
2
2
+1
=
x
2
(x
1
2
+1)-x
1
(x
2
2
+1)
(x
1
2
+1)
(x
2
2
+2)
=
( x
2
-x
1
)(1
-x
1
x
2
)
(x
1
2
+1)
(x
2
2
+1)
,
而由题设可得 x
2
-x
1
>0,1-x
1
x
2
>0,
∴
( x
2
-x
1
)(1
-x
1
x
2
)
(x
1
2
+1)
(x
2
2
+1)
>0,
故 f(x
1
)-f(x
2
)>0,
故函数f(x)在(-1,1)上是减函数.
(3)由不等式f(t-1)+f(t)<0,
可得f(t-1)<-f(t)=f(-t),
∴
{
-1<t-1<1
-1<t<1
t-1>-t
,
解得
1
2
<t<1,
故t的范围为(
1
2
,1).
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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集合的表示法
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集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
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