设f（x）=log121-axx-1为奇函数，a为常数．（1）求a的值；并判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；（2）若对于区间（3，4）上的每一个x的值，不等式f（x）＞(12)x+m恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设f（x）=log_1
2

1-ax

x-1

为奇函数，a为常数．
（1）求a的值；并判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（2）若对于区间（3，4）上的每一个x的值，不等式f（x）＞(

)^x+m恒成立，求实数m的取值范围．

见解析

解：（1）∵f（x）是奇函数，∴定义域关于原点对称，
由

1-ax

x-1

＞0，得（x-1）（1-ax）＞0．
令（x-1）（1-ax）=0，得x₁=1，x₂=

，∴

=-1，解得a=-1．
令u（x）=

1+x

x-1

=1+

x-1

，设任意x₁＜x₂，且x₁，x₂∈（1，+∞），
则u（x₁）-u（x₂）=

2(x₂-x₁)

(x₁-1)(x₂-1)

，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴u（x₁）-u（x₂）＞0，即u（x₁）＞u（x₂）．
∴u（x）=1+

x-1

（x＞1）是减函数，
又y=log_1
2u为减函数，
∴f（x）=log_1
2

x+1

x-1

在（1，+∞）上为增函数．
（2）由题意知log_1
2

x+1

x-1

)^x＞m，x∈（3，4）时恒成立，
令g（x）=log_1
2

x+1

x-1

)^x，x∈（3，4），由（1）知log_1
2

x+1

x-1

在[3，4]上为增函数，
又-(

)^x在（3，4）上也是增函数，故g（x）在（3，4）上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（3）=log_1
22-(

)³=-

，
∴m≤-

，故实数m的范围是（-∞，-

]．

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