已知函数f(x)=x-ax2+bx+1为R上奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并用定义法证明你的结论；（3）当x∈[a，a+1]时，求函数f（x）的最大值．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

x-a

x²+bx+1

为R上奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并用定义法证明你的结论；
（3）当x∈[a，a+1]时，求函数f（x）的最大值．

见解析

解：（1）∵函数f(x)=

x-a

x²+bx+1

为R上奇函数
∴f（0）=0，即a=0
此时f(x)=

x²+bx+1

且f（-x）=-f（x）恒成立
即

x²+bx+1

-x

x²-bx+1

=0
解得b=0
（2）由（1）得f(x)=

x²+1

，在（0，1）上为增函数
理由如下：
任取（0，1）上两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，1-x₁?x₂＞0，
则f（x₁）-f（x₂）
=

x₁

x₁²+1

x₂

x₂²+1

x₁?(x₂²+1)-x₂?(x₁²+1)

(x₁²+1)?(x₂²+1)

(x₁-x₂)?(1-x₁?x₂)

(x₁²+1)?(x₂²+1)

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
故f(x)=

x²+1

，在（0，1）上为增函数
（3）由（1）中a=0
∴当x∈[a，a+1]=[0，1]
由（2）中故f(x)=

x²+1

，在[0，1]上为增函数
可得当x=1时，函数f（x）取最大值

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