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  • 已知函数是奇函数，且满足f（1）=f（4）（Ⅰ）求实数a、b的值；（Ⅱ）试证明函数f（x）在区间（0，2]单调递减，在区间（2，+∞）单调递增；（Ⅲ）是否存在实数k同时满足以下两个条件：①不等式对x∈（0，+∞）恒成立；②方程f（x）=k在x∈[-6，-1]上有解．若存在，试求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数是奇函数，且满足f（1）=f（4）
      （Ⅰ）求实数a、b的值；
      （Ⅱ）试证明函数f（x）在区间（0，2]单调递减，在区间（2，+∞）单调递增；
      （Ⅲ）是否存在实数k同时满足以下两个条件：
      ①不等式      对x∈（0，+∞）恒成立；
      ②方程f（x）=k在x∈[-6，-1]上有解．若存在，试求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      （Ⅰ） 由f（1）=f（4）得，解得b=4． …（1分）
      由      为奇函数，得f（x）+f（-x）=0对x≠0恒成立，
      即      ，所以a=0． …（3分）
      （Ⅱ）由（Ⅰ）知，      ．
      任取x      1，x2∈（0，2]，且x1＜x2，，…（5分）
      ∵0＜x      1＜x2≤2，∴x1-x2＜0，x1x2＞0，x1x2-4＜0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2），
      所以，函数f（x）在区间（0，2]单调递减． …（7分）
      类似地，可证f（x）在区间（2，+∞）单调递增． …（8分）
      （Ⅲ）对于条件①，由（Ⅱ）得函数f（x）在（0，+∞）上有最小值f（2）=4，
      故若      对x∈（0，+∞）恒成立，
      则需f（x）      min＞-，则4＞-，
      ∴k＞-8；
      对于条件②，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（-∞，-2）上递增，在[-2，0）上递减，
      ∴函数f（x）在[-6，-2]上递增，在[-2，0）上递减，
      又f（-6）=-      ，f（-2）=-4，f（-1）=-5，
      所以函数f（x）在[-6，-1]上的值域为[-      ，-4]，
      若方程f（x）=k在[-6，-1]上有解，则需-      k≤-4，
      若同时满足条件①②，则需      ．
      所以：-      ≤k≤-4．
      故当-      ≤k≤-4时，条件①②同时满足．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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