已知函数f(x)＝3x－.(1)若f(x)＝2，求x的值；(2)判断x>0时，f(x)的单调性；(3)若3tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈恒成立，求m的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

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已知函数f(x)＝3^x－

.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)判断x>0时，f(x)的单调性；
(3)若3^tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈

恒成立，求m的取值范围．

见解析

【解析】
(1)当x≤0时，f(x)＝3^x－3^x＝0，
∴f(x)＝2无解．
当x>0时，f(x)＝3^x－

，令3^x－

＝2.
∴(3^x)²－2·3^x－1＝0，解得3^x＝1±

.
∵3^x>0，∴3^x＝1＋

.
∴x＝log₃(1＋

)．
(2)∵y＝3^x在(0，＋∞)上单调递增，
y＝

在(0，＋∞)上单调递减，
∴f(x)＝3^x－

在(0，＋∞)上单调递增．
(3)∵t∈

，∴f(t)＝3^t－

>0.
∴3^tf(2t)＋mf(t)≥0化为
3^t

＋m

≥0，
即3^t

＋m≥0，即m≥－3^2t－1.
令g(t)＝－3^2t－1，则g(t)在

上递减，∴g(x)_max＝－4.
∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)．

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