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一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动,若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,求α,β的值.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动,若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,求α,β的值.
试题解答
见解析
解:根据题意可知:14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m?360°,m∈Z,14β=n?360°,n∈Z,从而可知α=
m
7
?180°,β=
n
7
?180°,m,n∈Z.
又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,则2α,2β在第二象限.
又0°<α<β<180°,从而可得0°<2α<2β<360°,
因此2α,2β均为钝角,即90°<2α<2β<180°.
于是45°<α<90°,45°<β<90°.
∴45°<
m
7
?180°<90°,45°<
n
7
?180°<90°,
即
7
4
<m<
7
2
,
7
4
<n<
7
2
.
又∵α<β,∴m<n,从而可得m=2,n=3.
即α=(
360
7
)°,β=(
540
7
)°.
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