一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．

见解析

根据题意可知：14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α=m?360°，m∈Z，14β=n?360°，n∈Z，从而可知α=

?180°，β=

?180°，m，n∈Z．
又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第???象限，则2α，2β在第二象限．
又0°＜α＜β＜180°，从而可得0°＜2α＜2β＜360°，
因此2α，2β均为钝角，即90°＜2α＜2β＜180°．
于是45°＜α＜90°，45°＜β＜90°．
∴45°＜

?180°＜90°，45°＜

?180°＜90°，
即

＜m＜

，

＜n＜

．
又∵α＜β，∴m＜n，从而可得m=2，n=3．
即α=（

）°，β=（

）°．

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