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  • 如图是足球场的部分示意图，假设球门的宽AB=7m，A到边线的距离AC=30m．现距离边线5m处的一名运动员P沿着边线方向向底线运球，他观察球门的角∠APB称为视角．设P到底线的距离为PD=xm，tan∠APB记为y．（1）试将y表示成x的函数；（2）求当P离底线多少m时，该球员观察球门的视角最大？（结果保留根式）试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图是足球场的部分示意图，假设球门的宽AB=7m，A到边线的距离AC=30m．现距离边线5m处的一名运动员P沿着边线方向向底线运球，他观察球门的角∠APB称为视角．设P到底线的距离为PD=xm，tan∠APB记为y．
      （1）试将y表示成x的函数；
      （2）求当P离底线多少m时，该球员观察球门的视角最大？（结果保留根式）

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意，AD=25m，BD=32m，∠APB=∠DPB-∠DPA
      ∴y=tan∠APB=tan（∠DPB-∠DPA）=
      tan∠DPB-tan∠DPA
      1+tan∠DPBtan∠DPA
      =
      32
      x
      -
      25
      x
      1+
      32
      x
      ?
      25
      x

      ∴y=
      7x
      x2+800
      (x＞0)；
      （2）y=
      7
      x+
      800
      x
      ≤
      7
      2
      √800
      =
      7
      √2
      80
      ，当且仅当x=20
      √2
      m时，取等号
      ∴x=20
      √2
      m时，y=tan∠APB取得最大值
      ∵∠APB∈(0，
      π
      2
      )
      ∴x=20
      √2
      m时，∠APB取得最大值．
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