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  • （2011?武进区模拟）某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设∠BDC=α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S．（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2011?武进区模拟）某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设∠BDC=α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S．
      （1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
      （2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？

      试题解答

      见解析
      解：（1）在△BCD中，∵
      BD
      sin60°
      =
      BC
      sinα
      =
      CD
      sin(120°-α)
      ，
      ∴BD=
      √3
      2
      sinα
      ，CD=
      sin(120°-α)
      sinα
      ．
      则AD=1-
      sin(120°-α)
      sinα
      ．
      S=400?
      √3
      2
      sinα
      +100[1-
      sin(120°-α)
      sinα
      ]=50-50
      √3
      ?
      cosα-4
      sinα
      ，其中
      π
      3
      ≤α＜
      2π
      3
      ．

      （2）S′=-50
      √3
      ?
      -sinα?sinα-(cosα-4)cosα
      sin2α
      =50
      √3
      ?
      1-4cosα
      sin2α

      令S'=0，得cosα=
      1
      4
      ．
      当cosα＞
      1
      4
      时，S'＜0，S是α的单调减函数；
      当cosα＜
      1
      4
      时，S'＞0，S是α的单调增函数．
      ∴当cosα=
      1
      4
      时，S取得最小值．
      此时，sinα=
      √15
      4
      ，
      AD=1-
      sin(120°-α)
      sinα
      =1-
      √3
      2
      cosα+
      1
      2
      sinα
      sinα
      =
      1
      2
      -
      √3
      cosα
      2sinα
      =
      1
      2
      -
      √3
      2
      ?
      1
      4
      √15
      4
      =
      1
      2
      -
      √5
      10
      ．
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