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  • （2009?崇文区二模）如图，已知M是函数y=4-x2（1＜x＜2）的图象C上一点，过M点作曲线C的切线与x轴、y轴分别交于点A，B，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2009?崇文区二模）如图，已知M是函数y=4-x2（1＜x＜2）的图象C上一点，过M点作曲线C的切线与x轴、y轴分别交于点A，B，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：∵y=4-x2
      ∴y'=-2x．
      设M（m，4-m      2），则过M点曲线C的切线斜率k=-2m．
      ∴切线方程y-（4-m      2）=-2m（x-m）． 由x=0，得y=4+m2，B（0，4+m2）．由y=0x=
      4+m2
      2m
      ，A(
      4+m2
      2m
      ，0)，其中0＜m＜2.设△AOB的面积为S，则S=S=
      1
      2
      |4+m2|?|
      4+m2
      2m
      |=
      (4+m2)2
      4m
      =
      m4+8m2+16
      4m
      ，(0＜m＜2).
      ∴S′=
      (4m3+16m)m-(m4+8m2+16)
      4m2
      =
      3m4+8m2-16
      4m2
      .
      令S′=0，得3m      4+8m2-16=0，解得m=
      2
      √3
      3
      ∈(0，2).
      当m∈(0，
      2
      √3
      3
      )时，S′＜0，S在区间(0，
      2
      √3
      3
      )上为减函数；
      当m∈(
      2
      √3
      3
      ，2)时，S′＞0，S在区间(
      2
      √3
      3
      ，2)上为增函数；
      ∴当m=
      2
      √3
      3
      时S取得最小值，最小值为Smin=S(
      2
      √3
      3
      )=
      32
      √3
      9
      .
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      必修1人教A版解答题高中数学

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