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  • 设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：A=（a1，a2，…，ai，…，an）．其中ai（i=1，2，…，n）称为数组A的“元”，S称为A的下标．如果数组S中的每个“元”都是来自 数组A中不同下标的“元”，则称A=（a1，a2，…，an）为B=（b1，b2，…bn）的子数组．定义两个数组A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn）的关系数为C（A，B）=a1b1+a2b2+…+anbn．（Ⅰ）若A=(-12，12)，B=（-1，1，2，3），设S是B的含有两个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；（Ⅱ）若A=(√33，√33，√33)，B=（0，a，b，c），且a2+b2+c2=1，S为B的含有三个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；（Ⅲ）若数组A=（a1，a2，a3）中的“元”满足a12+a22+a32=1．设数组Bm（m=1，2，3，…，n）含有四个“元”bm1，bm2，bm3，bm4，且bm12+bm22+bm32+bm42=m，求A与Bm的所有含有三个“元”的子数组的关系数C（A，Bm）（m=1，2，3，…，n）的最大值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：A=（a1，a2，…，ai，…，an）．其中ai（i=1，2，…，n）称为数组A的“元”，S称为A的下标．如果数组S中的每个“元”都是来自 数组A中不同下标的“元”，则称A=（a1，a2，…，an）为B=（b1，b2，…bn）的子数组．定义两个数组A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn）的关系数为C（A，B）=a1b1+a2b2+…+anbn．
      （Ⅰ）若A=(-
      1
      2
      ，
      1
      2
      )，B=（-1，1，2，3），设S是B的含有两个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；
      （Ⅱ）若A=(
      √3
      3
      ，
      √3
      3
      ，
      √3
      3
      )，B=（0，a，b，c），且a2+b2+c2=1，S为B的含有三个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；
      （Ⅲ）若数组A=（a      1，a2，a3）中的“元”满足a12+a22+a32=1．设数组Bm（m=1，2，3，…，n）含有四个“元”bm1，bm2，bm3，bm4，且bm12+bm22+bm32+bm42=m，求A与Bm的所有含有三个“元”的子数组的关系数C（A，Bm）（m=1，2，3，…，n）的最大值．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）依据题意，当S=（-1，3）时，C（A，S）取得最大值为2．
      （Ⅱ）①当0是S中的“元”时，由于A的三个“元”都相等及B中a，b，c三个“元”的对称性，可以只计算C(A，S)=
      √3
      3
      (a+b)的最大值，其中a2+b2+c2=1．
      由（a+b）      2=a2+b2+2ab≤2（a2+b2）≤2（a2+b2+c2）=2，
      得 -
      √2
      ≤a+b≤
      √2
      ．
      当且仅当c=0，且a=b=
      √2
      2
      时，a+b达到最大值
      √2
      ，
      于是C(A，S)=
      √3
      3
      (a+b)=
      √6
      3
      ．
      ②当0不是S中的“元”时，计算C(A，S)=
      √3
      3
      (a+b+c)的最大值，
      由于a      2+b2+c2=1，
      所以（a+b+c）      2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．≤3（a2+b2+c2）=3，
      当且仅当a=b=c时，等号成立．
      即当a=b=c=
      √3
      3
      时，a+b+c取得最大值
      √3
      ，此时C(A，S)=
      √3
      3
      (a+b+c)=1．
      综上所述，C（A，S）的最大值为1．
      （Ⅲ）因为B      m=（bm1，bm2，bm3，bm4）满足bm12+bm22+bm32+bm42=m．
      由b      m1，bm2，bm3，bm4关系的对称性，只需考虑（bm2，bm3，bm4）与（a1，a2，a3）的关系数的情况．
      当b      m1=0时，有(
      bm2
      √m
      )2+(
      bm3
      √m
      )2+(
      bm4
      √m
      )2=1．a1
      bm2
      √m
      +a2
      bm3
      √m
      +a3
      bm4
      √m
      ≤
      a
      2
      1
      +
      b
      2
      m2
      m
      2
      +
      a
      2
      2
      +
      b
      2
      m3
      m
      2
      +
      a
      2
      3
      +
      b
      2
      m4
      m
      2
      =
      a12+a22+a32
      2
      +
      b
      2
      m2
      +b
      2
      m3
      +b
      2
      m4
      2m
      =
      1
      2
      +
      1
      2
      =1．
      即b      m1=0，且a1=
      bm2
      √m
      ，a2=
      bm3
      √m
      ，a3=
      bm4
      √m
      时，a1bm2+a2bm3+a3bm4的最大值为
      √m
      ．
      当      bm1≠0时，bm22+bm32+bm42＜m，
      得a      1bm2+a2bm3+a3bm4最大值小于
      √m
      ．
      所以C（A，B      m）的最大值为
      √m
      （m=1，2，3，…，n）．
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