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  • 设函数f（x）=x2+m（m∈R）．（1）如果m=14，方程y=f（x）-kx在[-1，1]上存在零点，求k的取值范围；（2）如果m=-1，对任意x∈[23，+∞)，f(xm)-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，求实数m的取值范围；（3）求h（x）=2f（x）+x|x-m|的最小值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）=x2+m（m∈R）．
      （1）如果m=
      1
      4
      ，方程y=f（x）-kx在[-1，1]上存在零点，求k的取值范围；
      （2）如果m=-1，对任意x∈[
      2
      3
      ，+∞)，f(
      x
      m
      )-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，求实数m的取值范围；
      （3）求h（x）=2f（x）+x|x-m|的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）方程f（x）-kx=0，即x2-kx+
      1
      4
      =0，故方程在[-1，1]上有解．令g(x)=x2-kx+
      1
      4
      ．
      ①若对称轴x=
      k
      2
      在[-1，1]上，则有
      {
      -1≤
      k
      2
      ≤1
      △≥0
      g(-1)≥0 ， 或g(1)≥0
      ，解得-2≤k≤-1或1≤k≤2．…（2分）
      ②若对称轴 x=
      k
      2
      在[-1，1]的左侧，则有
      {
      k
      2
      ＜-1
      g(-1)?g(1)≤0
      ，解得k＜-2．…（4分）
      ③若对称轴 x=
      k
      2
      在[-1，1]的右侧，则有
      {
      k
      2
      ＞1
      g(-1)?g(1)≤0
      解得k≥2．
      综合得k≤-1或k≥1．…（6分）
      （2）当m=-1时，不等式f(
      x
      m
      )-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m) 即，
      1
      m2
      -4m2≤-
      3
      x2
      -
      2
      x
      +1，x∈[
      3
      2
      ，+∞)．…（8分）
      因为y=-
      3
      x2
      -
      2
      x
      +1=-3(
      1
      x
      +
      1
      3
      )2+
      4
      3
      ，
      1
      x
      ∈(0，
      2
      3
      ]，当
      1
      x
      =
      2
      3
      ，x=
      3
      2
      时，ymin=-
      5
      3
      ．
      ∴
      1
      m2
      -4m2≤-
      5
      3
      ，即（3m2+1）（4m2-3）≥0，∴m≤-
      √3
      2
      ，或m≥
      √3
      2
      ．…（10分）
      （3）①当x≥m时，f（x）=3x      2-mx+2m，如果m≥0，f(x)min=2m2+2m； 如果m＜0，f(x)min=2m-
      m2
      12
      ．
      ②当x≤m时，f（x）=x      2+mx+2m，如果m≥0，f(x)min=-
      m2
      4
      +2m；如果m＜0，f(x)min=2m2+2m．
      由于2m      2+2m-(-
      m2
      4
      +2m)≥0，2m-
      m2
      12
      -（2m2+2m）≤0，
      所以f(x)      min=
      {
      2m-
      m2
      4
      ，m≥0
      2m-
      m2
      12
      ，m＜0.
      ． …（16分）
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