已知二次函数f（x）=x2+（2a-1）x+1-2a（1）判断命题：“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”的真假，并写出判断过程．（2）若y=f（x）在区间[2，3]内有零点，求实数a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

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已知二次函数f（x）=x²+（2a-1）x+1-2a
（1）判断命题：“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”的真假，并写出判断过程．
（2）若y=f（x）在区间[2，3]内有零点，求实数a的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”是真命题；
依题意：f（x）=1有实根，即 x²+（2a-1）x=0有实根，
由于判别式△=（2a-1）²-0=（2a-1）²≥0对于任意的a∈R（R为实数集）恒成立，
即x²+（2a-1）x=0必有实根，从而，方程f（x）=1必有实数根．
（2）令二次函数f（x）=x²+（2a-1）x+1-2a=0，则 x²=（x-1）（1-2a）．
因为x∈[2，3]，所以x-1＞0，1-2a=

x²

x-1

．
令g（x）=

x²

x-1

，则 g′（x）=

x²-2x

(x-1)²

，
令 g′（x）=0，解得x₁=0（舍去），或x₂=2．
在[2，3]上，g′（x）＞0，g（x）在[2，3]上单调递增，
故g（x）的最小值为g（2）=4，最大值g（3）=

，
故4≤1-2a≤

，解得-

≤a≤-

，
所以实数a的取值范围为[-

，-

]．

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