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  • 已知函数f（x）=ax2-2x+1（a≥0）．（1）试讨论函数f（x）在[0，2]的单调性；（2）若a＞1，求函数f（x）在[0，2]上的最大值和最小值；（3）若函数f（x）在区间（0，2）上只有一个零点，求a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax2-2x+1（a≥0）．
      （1）试讨论函数f（x）在[0，2]的单调性；
      （2）若a＞1，求函数f（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
      （3）若函数f（x）在区间（0，2）上只有一个零点，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当a=0时，函数f（x）=-2x+1，在[0，2]上是减函数．
      当a＞0时，函数f（x）=ax      2-2x+1的图象是抛物线，开口向上，对称轴为x=
      1
      a
      ，
      若
      1
      a
      ≥2，函数f（x）=ax2-2x+1，在[0，2]上是减函数．
      若0＜
      1
      a
      ＜2，函数f（x）=ax2-2x+1，在[0，
      1
      a
      ]上是减函数，在[
      1
      a
      ，2]上是增函数．
      综上，当 a=0或
      1
      a
      ≥2 时，函数f（x）=ax2-2x+1，在[0，2]上是减函数；
      当0＜
      1
      a
      ＜2，函数f（x）=ax2-2x+1，在[0，
      1
      a
      ]上是减函数，在[
      1
      a
      ，2]上是增函数．
      （2）若a＞1，则0＜
      1
      a
      ＜1，函数f（x）=ax2-2x+1，在[0，
      1
      a
      ]上是减函数，在[
      1
      a
      ，2]上是增函数，
      故函数的最大值为 f（2）=4a-3，最小值为 f（
      1
      a
      ）=1-
      1
      a
      ．
      （3）当a=0时，函数f（x）=-2x+1在区间（0，2）上只有一个零点x=
      1
      2
      ，符合题意．
      当a＞0时，
      ①若函数f（x）在区间（0，2）上有两个相等的零点（即一个零点），
      则
      {
      △=4-4a=0
      0＜
      1
      a
      ＜2
      ，解得a=1，符合题意．
      ②若函数f（x）有二个零点，一个零点在区间（0，2）内，另一个零点在区间（0，2）外
      则f（0）f（2）＜0，即4a-3＜0，得0＜a＜
      3
      4
      ．
      综上：f（x）在区间（0，2）上有一个零点时a的取值范围为0≤a＜
      3
      4
      ，或a=1．
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      必修1人教A版解答题高中数学

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