已知f（x）=log2（4x+1）+2kx （x∈R）是偶函数．（1）求实数k的值；（2）若函数F（x）=f（x）-m的一个零点在区间（0，12）内，求实数m的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知f（x）=log₂（4^x+1）+2kx （x∈R）是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）若函数F（x）=f（x）-m的一个零点在区间（0，

）内，求实数m的取值范围．

见解析

解：（1）∵f（x）=log₂（4^x+1）+2kx （x∈R）是偶函数，∴f（-x）=f（x），即 log₂（4^-x+1）-2kx=log₂（4^x+1）+2kx，
∴log₂

4^-x+1

4^x+1

-4kx=0，即 log₂

1+4^x

(4 ^x+1)4^x

-4kx=0，即log₂

4^x

-4kx=0，即-2x-4kx=0，
∴k=-

．
（2）由以上可得 f（x）=log₂（4^x+1）-x，若函数F（x）=f（x）-m=log₂（4^x+1）-x-m 的一个零点在区间（0，

）内，
则有 F（0）F（

）＜0，即（1-m）×（log₂3-

-m）＜0，即（m-1）（m-log₂

√2

）＜0，解得 1＜m＜log₂

√2

，
故实数m的取值范围为（1，log₂

√2

）．

标签