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  • 设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）且f（1）=-a2．（1）求证：函数f（x）有两个零点；（2）设x1，x2是函数的两个零点，求|x1-x2|的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）且f（1）=-
      a
      2
      ．
      （1）求证：函数f（x）有两个零点；
      （2）设x      1，x2是函数的两个零点，求|x1-x2|的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）证明：由函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）且f（1）=-
      a
      2
      ，可得 a+b+c=-
      a
      2
      ，即 c=-
      3a
      2
      -b．
      故判别式△=b      2-4ac=b2-4a(-
      3a
      2
      -b)=（b+2a）2+2a2＞0，函数f（x）有两个零点．
      （2）设x      1，x2是函数的两个零点，则 x1+x2 = -
      b
      a
      ，x1?x2 =
      c
      a
      ，
      ∴|x      1-x2|=
      √( x1+x2 )2-4 x1?x2
      =
      √(-
      b
      a
      )2-4?
      c
      a
      =
      √
      b2-4ac
      a2
      =
      √
      b2+4ab+ 6a2
      a2
      =
      √(
      b
      a
      )2+4?
      b
      a
      +6
      =
      √(
      b
      a
      +2)2+2
      ≥
      √2
      ．
      故|x      1-x2|的取值范围为[
      √2
      ，+∞）．
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