已知函数f（x）对于一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0（I）求f（0）的值；（II）求f（x）的解析式；（III）设函数g（x）=f（x）+（a-3）x+a，如果函数y=g（x）在区间（-1，1）上有零点，求实数a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

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已知函数f（x）对于一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0
（I）求f（0）的值；
（II）求f（x）的解析式；
（III）设函数g（x）=f（x）+（a-3）x+a，如果函数y=g（x）在区间（-1，1）上有零点，求实数a的取值范围．

试题解答

见解析

解：（I）∵f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，令x=1，y=0可得f（1）-f（0）=1×（1+0+1），
即 0-f（0）=2，解得f（0）=-2．
（II）令y=-x，可得 f（0）-f（-x）=x（1-x），即 f（-x）=x²-x-2，∴f（x）=x²+x-2．
（III）由于函数g（x）=f（x）+（a-3）x+a 在区间（-1，1）上有零点，则有g（-1）g（1）=（-2+3）[0+（a-3+a）]＜0，
解得 a＜

，即实数a的取值范围为（-∞，

）．

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必修1 人教A版解答题高中数学

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