已知定义在R上的函数f（x）=2x+a2x，a为常数，若f（x）为偶函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用单调性定义给予证明；（3）求函数f（x）的值域．试题及答案-解答题-云返教育

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已知定义在R上的函数f（x）=2^x+

2^x

，a为常数，若f（x）为偶函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用单调性定义给予证明；
（3）求函数f（x）的值域．

见解析

解：（1）由f（x）为偶函数，可得f（-x）=f（x），即 2^x+

2^x

+a?2^x，…2分
从而a=1． …4分
f（x）=2^x+

2^x

． …5分
（2）函数f（x）在（0，+∞）内单调增．
证明：任取 0＜x₁＜x₂，…6分
f（x₁）-f（x₂）=2^x₁+

2^x₁

-2^x₂-

2^x₂

=（2^x₁-2^x₂ ）+

2^x₂-2^x₁

2^x₁?2^x₂

=（2^x₁-2^x₂ ）（1-

2^x₁?2^x₂

）=（2^x₁-2^x₂ ）（

2^x₂+x₁-1

2^x₁?2^x₂

），…..7分
由条件-∞＜x₁＜x₂，可得（2^x₁-2^x₂ ）＜0，）（

2^x₂+x₁-1

2^x₁?2^x₂

）＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故函数f（x）在（0，+∞）内单调增．…..10分
（3）∵函数 f（x）=2^x+

2^x

，令 t=2^x＞0，…..11分
则 y=t+

，（ t＞0）…..12分
由基本不等式可得y=t+

≥2，当且仅当t=1时，等号成立，…..14分
所以函数的值域为[2，+∞）．…..15分．

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