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  • 已知函数f（x）=2x+1定义在R上．（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m2-m-1（m∈R），求出p（t）的解析式；（2）若p（t）≥m2-m-1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围；（3）若方程p（p（t））=0无实根，求m的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=2x+1定义在R上．
      （1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m      2-m-1（m∈R），求出p（t）的解析式；
      （2）若p（t）≥m      2-m-1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围；
      （3）若方程p（p（t））=0无实根，求m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）偶函数，h（x）为奇函数，
      则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，
      由①②解得g(x)=
      f(x)+f(-x)
      2
      ，h(x)=
      f(x)-f(-x)
      2
      ．
      ∵f（x）定义在R上，∴g（x），h（x）都定义在R上．
      ∵g(-x)=
      f(-x)+f(x)
      2
      =g(x)，h(-x)=
      f(-x)-f(x)
      2
      =-h(x)．
      ∴g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，∵f（x）=2      x+1，
      ∴g(x)=
      f(x)+f(-x)
      2
      =
      2x+1+2-x+1
      2
      =2x+
      1
      2x
      ，h(x)=
      f(x)-f(-x)
      2
      =
      2x+1-2-x+1
      2
      =2x-
      1
      2x
      ．
      由      2x-
      1
      2x
      =t，则t∈R，
      平方得      t2=(2x-
      1
      2x
      )2=22x+
      1
      22x
      -2，∴g(2x)=22x+
      1
      22x
      =t2+2，
      ∴p（t）=t      2+2mt+m2-m+1．
      （2）∵t=h（x）关于x∈[1，2]单调递增，∴
      3
      2
      ≤t≤
      15
      4
      ．
      ∴p（t）=t      2+2mt+m2-m+1≥m2-m-1对于t∈[
      3
      2
      ，
      15
      4
      ]恒成立，
      ∴m≥-
      t2+2
      2t
      对于t∈[
      3
      2
      ，
      15
      4
      ]恒成立，
      令φ(t)=-
      t2+2
      2t
      ，则φ′(t)=
      1
      2
      (
      2
      t2
      -1)，
      ∵t∈[
      3
      2
      ，
      15
      4
      ]，∴φ′(t)=
      1
      2
      (
      2
      t2
      -1)＜0，故φ(t)=-
      t2+2
      2t
      在t∈[
      3
      2
      ，
      15
      4
      ]上单调递减，
      ∴φ(t)      max=φ(
      3
      2
      )=-
      17
      12
      ，∴m≥-
      17
      12
      为m的取值范围．
      （3）由（1）得p（p（t））=[p（t）]      2+2mp（t）+m2-m+1，
      若p（p（t））=0无实根，即[p（t）]      2+2mp（t）+m2-m+1①无实根，
      方程①的判别式△=4m      2-4（m2-m+1）=4（m-1）．
      1°当方程①的判别式△＜0，即m＜1时，方程①无实根．
      2°当方程①的判别式△≥0，即m≥1时，
      方程①有两个实根p(t)=t      2+2mt+m2-m+1=-m±
      √m-1
      ，
      即      t2+2mt+m2+1±
      √m-1
      =0②，
      只要方程②无实根，故其判别式      △2=4m2-4(m2+1±
      √m-1
      )＜0，
      即得-1-
      √m-1
      ＜0③，且-1+
      √m-1
      ＜0④，
      ∵m≥1，③恒成立，由④解得m＜2，∴③④同时成立得1≤m＜2．
      综上，m的取值范围为m＜2．
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