集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的：①函数f（x）的定义域是[0，+∞）；②函数f（x）的值域是[-2，4）；③函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，试分别探究下列两小题：（1）判断函数及是否属于集合A？并简要说明理由；（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否对于任意的x≥0恒成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的：
①函数f（x）的定义域是[0，+∞）；
②函数f（x）的值域是[-2，4）；
③函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，试分别探究下列两小题：
（1）判断函数

及

是否属于集合A？并简要说明理由；
（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否对于任意的x≥0恒成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

见解析

（1）∵函数

的值域[-2，+∞）
∴f₁（x）?A
对于f₂（x），定义域为[0，+∞），满足条件①．
而由x≥0知

，∴

，满足条件②
又∵

，
∴

在[0，+∞）上是减函数．
∴f₂（x）在[0，+∞）上是增函数，满足条件③
∴f₂（x）属于集合A．
（2）f₂（x）属于集合A，原不等式

对任意x≥0总成立
证明：由（1）知，f₂（x）属于集合A．
∴原不等式为

整理为：

．
∵对任意

，
∴原不等式对任意x≥0总成立

标签