已知函数f（x）=ax2+4x-2满足对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2．（1）求实数a的取值范围；（2）试讨论函数y=f（x）在区间[-1，1]上的零点的个数．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=ax²+4x-2满足对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有f(

x₁+x₂

)＜

f(x₁)+f(x₂)

．
（1）求实数a的取值范围；（2）试讨论函数y=f（x）在区间[-1，1]上的零点的个数．

见解析

解：（1）∵f(

x₁+x₂

f(x₁)+f(x₂)

=a(

x₁+x₂

)²+b(

x₁+x₂

)+c-

ax₁²+bx₁+c+ax₂²+bx₂+c

(x₁-x₂)²＜0，
∵x₁≠x₂，∴a＞0．∴实数a的取值范围为（0，+∞）．
（2）∵a＞0，
∴△=16+8a＞0，
①a＞0时，f（1）=a+2＞0，
当0＜a≤6时，总有f（-1）≤0，
故0＜a≤6时，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有1个零点；
②a＞6时，

{

a＞0

-1＜-

＜1

f(1)=a+4-2＞0

f(-1)=a-4+2＞0

，
故a＞6时，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有2个零点．
综上所述，0＜a≤6时，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有1个零点；
a＞6时，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有2个零点．

标签