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函数y=f(x)的定义域为R,若存在常数M>0,使得|f(x)|≥M|x|对一切实数x均成立,则称f(x)为“圆锥托底型”函数.(1)判断函数f(x)=2x,g(x)=x3是否为“圆锥托底型”函数?并说明理由.(2)若f(x)=x2+1是“圆锥托底型”函数,求出M的最大值.(3)问实数k、b满足什么条件,f(x)=kx+b是“圆锥托底型”函数.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
函数y=f(x)的定义域为R,若存在常数M>0,使得|f(x)|≥M|x|对一切实数x均成立,则称f(x)为“圆锥托底型”函数.
(1)判断函数f(x)=2x,g(x)=x
3
是否为“圆锥托底型”函数?并说明理由.
(2)若f(x)=x
2
+1是“圆锥托底型”函数,求出M的最大值.
(3)问实数k、b满足什么条件,f(x)=kx+b是“圆锥托底型”函数.
试题解答
见解析
解:(1)∵|2x|=2|x|≥2|x|,即对于一切实数x使得|f(x)|≥2|x|成立,
∴f(x)=2x是“圆锥托底型”函数.…(2分)
对于g(x)=x
3
,如果存在M>0满足|x
3
|≥M|x|,而当x=
√
M
2
时,由|
√
M
2
|
3
≥M|
√
M
2
|,
∴
M
2
≥M,得M≤0,矛盾,
∴g(x)=x
3
不是“圆锥托底型”函数.…(5分)
(2)∵f(x)=x
2
+1是“圆锥托底型”函数,故存在M>0,使得|f(x)|=|x
2
+1|≥M|x|对于任意实数恒成立.
∴当x≠0时,M≤|x+
1
x
|=|x|+
1
|x|
,此时当x=±1时,|x|+
1
|x|
取得最小值2,∴M≤2.…(9分)
而当x=0时,|f(0)|=1≥M|0|=0也成立.
∴M的最大值等于2.…(10分)
(3)①当b=0,k=0时,f(x)=0,无论M取何正数,取x
0
≠0,则有|f(x
0
)=0<M|x
0
|,
f(x)=0不是“圆锥托底型”函数.…(12分)
②当b=0,k≠0时,f(x)=kx,对于任意x有|f(x)|=|kx|≥|k||x|,此时可取0<M<k|,
∴f(x)=kx是“圆锥托底型”函数.…(14分)
③当b≠0,k=0时,f(x)=b,无论M取何正数,取|x
0
|>
|b|
M
.有|b|<M|x
0
|,
∴f(x)=b不是“圆锥托底型”函数.…(16分)
④当b≠0,k≠0时,f(x)=kx+b,无论M取何正数,取x
0
=-
b
k
≠0,有|f(x
0
)|=0≤M|x
0
|,
∴f(x)=kx+b不是“圆锥托底型”函数.
由上可得,仅当b=0,k≠0时,f(x)=kx+b是“圆锥托底型”函数.…(18分)
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