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若函数f(x)=√ex+x-a存在b∈[0,1],使f(f(b))=b,则实数a的取值范围是 .试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
若函数f(x)=
√
e
x
+x-a
存在b∈[0,1],使f(f(b))=b,则实数a的取值范围是
.
试题解答
[1,e]
解:由f(f(b))=b,可得f(b)=f
-1
(b)
其中f
-1
(x)是函数f(x)的反函数
因此命题“存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立”,转化为“存在b∈[0,1],使f(b)=f
-1
(b)”,
即y=f(x)的图象与函数y=f
-1
(x)的图象有交点,且交点的横坐标b∈[0,1],
∵y=f(x)的图象与y=f
-1
(x)的图象关于直线y=x对称,
∴y=f(x)的图象与函数y=f
-1
(x)的图象的交点必定在直线y=x上,
由此可得,y=f(x)的图象与直线y=x有交点,且交点横坐标b∈[0,1],
根据 f(x)=
√
e
x
+x-a
=x,化简整理得e
x
=x
2
-x+a
记F(x)=e
x
,G(x)=x
2
-x+a,在同一坐标系内作出它们的图象,
可得
{
F(0)≤G(0)
F(1)≥G(1)
,即
{
e
0
≤0
2
-0+a
e
1
≥1
2
-1+a
,
解得1≤a≤e
即实数a的取值范围为[1,e]
故答案为:[1,e]
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必修1
人教A版
单选题
高中
数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
4.1 函数与方程
二分法的定义
二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
函数的零点
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函数零点的判定定理
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