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  • 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为实数a不为零），且同时满足下列条件：（1）f（-1）=0；（2）对于任意的实数x，都有f（x）-x≥0；（3）当x∈（0，2）时有f(x)≤(x+12)2．①求f（1）；②求a，b，c的值；③当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调函数，求m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为实数a不为零），且同时满足下列条件：
      （1）f（-1）=0；
      （2）对于任意的实数x，都有f（x）-x≥0；
      （3）当x∈（0，2）时有f(x)≤(
      x+1
      2
      )2．
      ①求f（1）；
      ②求a，b，c的值；
      ③当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调函数，求m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当x=1时，由 f（1）-1≥0，且f(1)≤(
      1+1
      2
      )2=1，∴f（1）=1．
      （2）设二次函数为f（x）=ax      2+bx+c，由f（-1）=0可得a-b+c=0，
      而f（1）=1，∴a+b+c=1，解得b=
      1
      2
      ，a+c=
      1
      2
      ．
      又f（x）-x≥0，∴ax      2+bx+c-x≥0，化简得 ax2+（b-1）x+c≥0，
      ∴a＞0且（b-1）      2-4ac≤0，把 b=
      1
      2
      ，a+c =
      1
      2
      ，代入化简可得 (a-
      1
      4
      )2 ≤ 0，
      ∴a=
      1
      4
      ，c=
      1
      4
      ．
      （3）由上可得 f（x）=
      1
      4
      x2+
      1
      2
      x+
      1
      4
      ，∴g(x)=f(x)-mx=
      1
      4
      x2+
      1
      2
      x+
      1
      4
      -mx=
      1
      4
      x2+(
      1
      2
      -m)x+
      1
      4
      ，
      因为函数g（x）在[-1，1]上单调可知，-
      1
      2
      -m
      2×
      1
      4
      ≤-1，或-
      1
      2
      -m
      2×
      1
      4
      ≥1，
      解得m≤0，或m≥1．故m的取值范围是{m|m≤0，或m≥1}．
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