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设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数k,使对任意x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>f(x)恒成立,则称函数f(x)在D上的“k阶增函数”.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,x>0时,f(x)=|x-a|-a,其中a为正常数,若f(x)为R上的“2阶增函数”,则实数a的取值范围是( )试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数k,使对任意x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>f(x)恒成立,则称函数f(x)在D上的“k阶增函数”.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,x>0时,f(x)=|x-a|-a,其中a为正常数,若f(x)为R上的“2阶增函数”,
则实数a的取值范围是( )
试题解答
C
解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,
且当x>0时,f(x)=|x-a|-a,
∴f(x)=
{
|x-a|-a,x>0
-|x+a|+a,x<0
,
又f(x)为R上的“2阶增函数”,
当x>0时,由定义有|x+2-a|-a>|x-a|-a,
即|x+2-a|>|x-a|,其几何意义为到点a小于到点a-2的距离,
由于x>0故可知a+a-2<0得a<1.
当x<0时,分两类研究:
①若x+2<0,则有-|x+2+a|+a>-|x+a|+a,
即|x+a|>|x+2+a|,其几何意义表???到点-a的距离小于到点-a-2的距离,
由于x<0,故可得-a-a-2>0,得a<-1;
②若x+2>0,则有|x+2-a|-a>-|x+a|+a,
即|x+a|+|x+2-a|>2a,其几何意义表示到到点-a的距离与到点a-2的距离的和大于2a,
当a≤0时,显然成立,
当a>0时,由于|x+a|+|x+2-a|≥|-a-a+2|=|2a-2|,
故有|2a-2|>2a,必有2-2a>2a,解得a<
1
2
,
综上,对x∈R都成立的实数a的取值范围是a<
1
2
.
故选C.
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必修1
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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