设m、n为正整数，且m≠2，二次函数y=x2+（3-mt）x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为的d1，二次函数y=-x2+（2t-n）x+2nt的图象与x轴的两个交点间的距离为d2，如果d1≥d2对一切实数t恒成立，求m、n的值．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设m、n为正整数，且m≠2，二次函数y=x²+（3-mt）x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为的d₁，二次函数y=-x²+（2t-n）x+2nt的图象与x轴的两个交点间的距离为d₂，如果d₁≥d₂对一切实数t恒成立，求m、n的值．

见解析

解：设二次函数y=x²+（3-mt）x-3m的图象与x轴的两个交点分别为（x₁，0），（x₂，0），
二次函数y=-x²+（2t-n）x+2nt的图象与x轴的两个交点分别为（x₃，0），（x₄，0），
则d₁=|x₁-x₂|=

√(x₁+x₂)²-4x₁x₂

√(mt-3)²+12mt

，
d₂=|x₃-x₄| =

√(x₃+x₄)²-4x₃x₄

√(n-2t)²+8nt

．
∵d₁≥d₂对一切实数t恒成立，
∴（mt-3）²+12mt≥（n-2t）²+8nt对一切实数t恒成立，
即（m²-4）t²+（6m-4n）t+9-n²≥0对一切实数t恒成立，
∴

{	m²-4＞0 △=(6m-4n)²-4(m²-4)(9-n²)≤0

，
∴

{	m²＞4 (mn-6)²≤0

，
又∵m、n为正整数，
∴m=3，n=2或m=6，n=1．…（14分）

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