函数f（x）=xax+b（a，b是非零实常数），满足f（2）=1，且方程f（x）=x有且仅有一个解．（1）求a、b的值；（2）是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立？为什么？（3）在直角坐标系中，求定点A（-3，1）到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

函数f（x）=

ax+b

（a，b是非零实常数），满足f（2）=1，且方程f（x）=x有且仅有一个解．
（1）求a、b的值；
（2）是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立？为什么？
（3）在直角坐标系中，求定点A（-3，1）到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值．

见解析

解：（1）由f（2）=1得2a+b=2，又x=0一定是方程

ax+b

=x的解，
所以

ax+b

=1无解或有解为0，（3分）
若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，
若有解为0，则b=1，所以a=

．（6分）
（2）f（x）=

x+2

，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，
取x=0，则f（0）+f（m-0）=4，即

m+2

=4，m=-4（必要性）（8分）
又m=-4时，f（x）+f（-4-x）=

x+2

2(-4-x)

-4-x+2

=…=4成立（充分性）（10分）
所以存在常数m=-4，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，（11分）
（3）|AP|²=（x+3）²+（

x-2

x+2

）²，设x+2=t，t≠0，（13分）
则|AP|²=（t+1）²+（

t-4

）²=t²+2t+2-

t²

=（t²+

t²

）+2（t-

）+2=（t-

）²+2（t-

）+10
=（ t-

+1）²+9，（16分）
所以当t-

+1=0时即t=

-1±

√17

，也就是x=

-5±

√17

时，
|AP|_min=3 （18分）

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