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  • 函数fn(x)=xn+bx+c(n∈Z，b，c∈R)．（1）若n=-1，函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，求实数b的取值范围；（2）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，|f2（x1）-f2（x2）|≤4恒成立，求b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数fn(x)=xn+bx+c(n∈Z，b，c∈R)．
      （1）若n=-1，函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，求实数b的取值范围；
      （2）设n=2，若对任意x      1，x2∈[-1，1]，|f2（x1）-f2（x2）|≤4恒成立，求b的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）n=-1时，f(x)=
      1
      x
      +bx+c
      任设x      1＞x2≥2，f(x1)-f(x2)=
      1
      x1
      +bx1+c-(
      1
      x2
      +bx2+c)=
      (x1-x2)(bx1x2-1)
      x1x2
      ，
      ∵x      1＞x2≥2，
      ∴x      1-x2＞0，x1x2＞0，
      因为函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，故恒有f（x      1）＞f（x2），
      从而恒有bx      1x2-1＞0，即恒有b＞
      1
      x1x2
      ，
      当x      1＞x2≥2时，x1x2＞4，
      ∴
      1
      x1x2
      ＜
      1
      4
      ，
      ∴b≥
      1
      4
      ．
      （2）当n=2时      f2(x)=x2+bx+c
      对任意x      1，x2∈[-1，1]有|f2（x1）-f2（x2）|≤4恒成立等价于f2（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4，
      当-
      b
      2
      ＜-1，即b＞2时，f2（x）在x∈[-1，1]上单调递增，
      ∴f      2（x）min=f2（-1）=1-b+c，f2（x）max=f2（1）=1+b+c，
      ∴M=2b＞4，与题设矛盾；
      当-1≤-
      b
      2
      ≤0，即0≤b≤2时，f2（x）在x∈[-1，-
      b
      2
      ]上单调递减，在x∈[-
      b
      2
      ，1]上单调递增，
      ∴      f2(x)min=f2(-
      b
      2
      )=-
      b2
      4
      +c，f2（x）max=f2（1）=1+b+c，
      ∴M=(
      b
      2
      +1)2≤4恒成立，
      ∴0≤b≤2；
      当0＜-
      b
      2
      ≤1，即-2≤b＜0时，f2（x）在x∈[-1，-
      b
      2
      ]上单调递减，在x∈[-
      b
      2
      ，1]上单调递增，
      ∴      f2(x)min=f2(-
      b
      2
      )=-
      b2
      4
      +c，f2（x）max=f2（-1）=1-b+c，
      即M=(
      b
      2
      -1)2≤4恒成立，
      ∴-2≤b＜0；
      当-
      b
      2
      ＞-1，即b＜2时，f2（x）在x∈[-1，1]上单调递减，
      ∴f      2（x）min=f2（1）=1+b+c，f2（x）max=f2（-1）=1-b+c，
      ∴M=-2b＞4，与题设矛盾．
      综上所述，实数b的取值范围是-2≤b≤2．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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