见解析
解:(1)由题设,令x=y=0,
恒等式可变为f(0+0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0,
又f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2+2=4,
(2)令y=-x,则 由f(x+y)=f(x)+f(y)得
f(0)=0=f(x)+f(-x),即得f(-x)=-f(x),
故f(x)是奇函数
(3)任取x1<x2,则x2-x1>0,
由题设x>0时,f(x)>0,可得f(x2-x1)>0
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0
故有f(x2)>f(x1)
所以 f(x)是增函数.