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  • 如果对于函数f（x）的定义域内任意的x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，那么就称函数f（x）是定义域上的“平缓函数”．（1）判断函数f（x）=x2-x，x∈[0，1]是否是“平缓函数”；（2）若函数f（x）是闭区间[0，1]上的“平缓函数”，且f（0）=f（1）．证明：对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤12成立．（3）设a、m为实常数，m＞0．若f（x）=alnx是区间[m，+∞）上的“平缓函数”，试估计a的取值范围（用m表示，不必证明）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      如果对于函数f（x）的定义域内任意的x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，那么就称函数f（x）是定义域上的“平缓函数”．
      （1）判断函数f（x）=x      2-x，x∈[0，1]是否是“平缓函数”；
      （2）若函数f（x）是闭区间[0，1]上的“平缓函数”，且f（0）=f（1）．证明：对于任意
      的x      1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤
      1
      2
      成立．
      （3）设a、m为实常数，m＞0．若f（x）=alnx是区间[m，+∞）上的“平缓函数”，试估计a的取值范围（用m表示，不必证明）．

      试题解答

      见解析
      证明：（1）对于任意的x1，x2∈[0，1]，
      有-1≤x      1+x2-1≤1，|x1+x2-1|≤1．（2分）
      从而|f（x      1）-f（x2）|=|（x12-x1）-（x22-x2）|=|x1-x2||x1+x2-1|≤|x1-x2|．
      ∴函数f（x）=x      2-x，x∈[0，1]是“平缓函数”．（4分）
      （2）当|x      1-x2|＜
      1
      2
      时，由已知得|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|＜
      1
      2
      ；（6分）
      当|x      1-x2|≥
      1
      2
      时，因为x1，x2∈[0，1]，不妨设0≤x1＜x2≤1，其中x1-x2≤-
      1
      2
      ，
      因为f（0）=f（1），所以：
      |f（x      1）-f（x2）|=|f（x1）-f（0）+f（1）-f（x2）|≤|f（x1）-f（0）|+|f（1）-f（x2）|≤|x1-0|+|1-x2|=x1-x2+1≤-
      1
      2
      +1=
      1
      2
      ．
      故对于任意的x      1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤
      1
      2
      成立．（10分）
      （3）结合函数f（x）=alnx的图象性质及其在点x=m处的切线斜率，估计a的取值范围是闭区间[-m，m]．（注：只需直
      接给出正确结论）（14分）
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