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设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）（Ⅰ）求f（0），判断并证明函数f（x）的单调性；（Ⅱ）数列{an}满足a1=f（0），且f(an+1)=1f(-2-an)(n∈N*)①求{an}通项公式．②当a＞1时，不等式1an+1+1an+2+…+1a2n＞1235(loga+1x-logax+1)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有
f（x+y）=f（x）f（y）
（Ⅰ）求f（0），判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）数列{a_n}满足a₁=f（0），且f(a_n+1)=

f(-2-a_n)

(n∈N^*)
①求{a_n}通项公式．
②当a＞1时，不等式

a_n+1

a_n+2

+…+

a_2n

＞

(log_a+1x-log_ax+1)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

见解析

解：（Ⅰ）x，y∈R，f（x+y）=f（x）?f（y），x＜0时，f（x）＞1
令x=-1，y=0则f（-1）=f（-1）f（0）∵f（-1）＞1
∴f（0）=1
若x＞0，则f（x-x）=f（0）=f（x）f（-x）
故f(x)=

f(-x)

∈(0，1)
故x∈Rf（x）＞0
任取x₁＜x₂f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）f（x₂-x₁）
∵x₂-x₁＞0∴0＜f（x₂-x₁）＜1
∴f（x₂）＜f（x₁）
故f（x）在R上减函数

（Ⅱ）①a₁=f(0)=1，f(a_n+1)=

f(-2-a_n)

=f(2+a_n)
由f（x）单调性知，a_n+1=a_n+2故{a_n}等差数列
∴a_n=2n-1
②b_n=

a_n+1

a_n+2

a_2n

，则b_n+1=

a_n+2

a_n+3

a_2n+2

b_n+1-b_n=

a_2n+1

a_2n+2

a_n+1

4n+1

4n+3

2n+1

(4n+1)(4n+3)(2n+1)

＞0，{b_n}是递增数列
当n≥2时，(b_n)_min=b₂=

a₃

a₄

∴

＞

(log_a+1x-log_ax+1)
即log_a+1x-log_ax+1＜1?log_a+1x＜log_ax
而a＞1，
∴x＞1
故x的取值范围：（1，+∞）

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