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已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=0和f(x-2)+f(x)=0,且当x∈[1,2]时f(x)=1-(x-2)2.若直线y=kx(k为常数),与函数f(x)的图象在区间(-2,5)上恰有4个公共点,则实数k的取值范围是( )试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=0和f(x-2)+f(x)=0,且当x∈[1,2]时f(x)=1-(x-2)
2
.若直线y=kx(k为常数),与函数f(x)的图象在区间(-2,5)上恰有4个公共点,则实数k的取值范围是( )
试题解答
D
解:∵f(2-x)+f(x)=0,
∴y=f(x)的图象关于(1,0)成中心对称对称;①
又f(x-2)+f(x)=0,
∴f(2-x)=f(x-2)=f[-(2-x)],
∴函数f(x)为偶函数;②
又f(x-2)+f(x)=0,
∴f(x-2)=-f(x),
∴f(x-4)=-f(x-2)=f(x),
∴函数f(x)是以4k(k∈Z且k≠0)为周期的函数;③
由函数f(x)为偶函数得:f(2-x)+f(x)=0?f(2+x)+f(-x)=0?f(2+x)+f(x)=0,
∴f(2+x)=f(2-x),即函数f(x)关于直线x=2对称,④
又当x∈[1,2]时f(x)=1-(x-2)
2
,
∴由①②③④作图如下:
由图知,当k>0时,直线y=kx(k为常数)与函数f(x)的图象在区间(-2,5)上恰有3个公共点,不符合题意;
∴k<0,令y=g(x)=kx,
则g(4)=4k>-1,
解得:-
1
4
<k<0.
故选:D.
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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