见解析
解：（1）令a=b=0，得f（0）=0，；再令a=b=1得，f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0
（2）f（x）为奇函数．
证明：∵f（ab）=af（b）+bf（a），
∴令a=b=x，得：f（x2）=xf（x）+xf（x）=2xf（x），①
再令a=b=-x得：f（x2）=-xf（-x）-xf（-x）=-2xf（-x），②
由①②得；2xf（x）=-2xf（-x），
∴x[f（x）+f（-x）]=0，
∵f（x）是定义域为R的不恒为0的函数，即x不恒为0，
∴f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
