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函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切x>0,y>0,都有 f(xy)=f(x)-f(y),当x>1时,有f(x)>0.(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性并证明;(3)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(1x)<2.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切x>0,y>0,都有 f(
x
y
)=f(x)-f(y),当x>1时,有f(x)>0.
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性并证明;
(3)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(
1
x
)<2.
试题解答
见解析
解:(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)-f(1)=0,
所以f(1)=0.
(2)任取x
1
,x
2
∈(0,+∞),且x
1
<x
2
,
则f(x
2
)-f(x
1
)=f(
x
2
x
1
),
∵x
2
>x
1
>0,
∴
x
2
x
1
>1,故f(
x
2
x
1
)>0,
∴f(x
2
)-f(x
1
)>0,
即f(x
2
)>f(x
1
),
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)因为f(6)=1,所以f(36)-f(6)=f(6),
所以f(36)=2f(6)=2.
由f(x+3)-f (
1
x
)<2,得f(x
2
+3x)<f(36),
所以
{
x+3>0
1
x
>0
x
2
+3x<36
即
{
x>-3
x>0
-3-3
√
17
2
<x<
-3+3
√
17
2
解得:0<x<
3
√
17
-3
2
.
所以原不等式的解集为(0,
3
√
17
-3
2
).
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单选题
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
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