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  • 设函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）?f（y），且f（2）=4．（1）求f（0），f（1）的值；（2）证明：f（x）在R上为单调递增函数；（3）若有不等式f(x)?f(1+1x)＜2成立，求x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）?f（y），且f（2）=4．
      （1）求f（0），f（1）的值；
      （2）证明：f（x）在R上为单调递增函数；
      （3）若有不等式f(x)?f(1+
      1
      x
      )＜2成立，求x的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解（1）因为f（2+0）=f（2）?f（0），
      所以4=4?f（0），
      所以f（0）=1，
      又因为4=f（2）=f（1+1）=f      2（1），且当x＞0时，f（x）＞1，
      所以f（1）=2
      （2）当x＜0时，-x＞0，
      所以f（-x）＞1，而f（0）=f[x+（-x）]=f（x）?f（-x），
      所以f(x)=
      1
      f(-x)
      ，
      所以0＜f（x）＜1，
      对任意的x      1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）-f（x2）=f[（x1-x2）+x2]-f（x2）=f（x2）（f（x1-x2）-1），
      因为x      1＜x2，
      所以x      1-x2＜0，
      所以0＜f（x      1-x2）＜1，
      即f（x      1-x2）-1＜0，
      所以f（x      1）-f（x2）＜0，
      即f（x      1）＜f（x2），
      所以f（x）在R上是单调递增函数
      （3）因为f(x)?f(1+
      1
      x
      )＜2，
      所以f(x+1+
      1
      x
      )＜f(1)，而f（x）在R上是单调递增函数，
      所以x+1+
      1
      x
      ＜1，
      即：x+
      1
      x
      ＜0，
      所以
      x2+1
      x
      ＜0，
      所以x＜0，
      所以x的取值范围是x＜0
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      必修1人教A版单选题高中数学

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